一、基本形式
1. 一次函数：\( y = kx + b \)（\( k \neq 0 \)）
2. 正比例函数：\( y = kx \)（\( k \neq 0 \)，是 \( b=0 \) 的特殊一次函数）
二、性质
|性质 一次函数 \( y = kx + b \)|
正比例函数 \( y = kx \)
| 图像
| 直线，斜率为 \( k \)，y轴截距为 \( b \) | 过原点的直线，斜率为 \( k \) |
| 增减性 | \( k>0 \) 时递增；\( k<0 \) 时递减 | 同一次函数 |
| 特殊点 | 与y轴交于 \( (0, b) \)；与x轴交于 \( (-\frac{b}{k}, 0) \) | 必过原点 \( (0, 0) \) |
| 象限分布*| 由 \( k \) 和 \( b \) 的符号共同决定 | \( k>0 \) 时过一、三象限；\( k<0 \) 时过二、四象限 |
三、图像特征
1. 斜率 \( k \) 的影响：
- \( |k| \) 越大，直线越陡峭。
- \( k \) 相同，直线平行；\( k \) 不同，直线相交。
2. 截距 \( b \) 的影响：
- 正比例函数图像平移 \( |b| \) 个单位得到一次函数图像。
3. 象限分布规律：
- 一次函数：
- \( k>0, b>0 \)：过一、二、三象限。
- \( k>0, b<0 \)：过一、三、四象限。
- \( k<0, b>0 \)：过一、二、四象限。
- \( k<0, b<0 \)：过二、三、四象限。
- 正比例函数：仅过两个对角象限。
四、常见考点
1. 求解析式：
- 已知两点坐标或斜率与一点坐标，列方程求解 \( k \) 和 \( b \)。
2. 图像位置判断：
- 根据 \( k \) 和 \( b \) 的符号，判断直线经过的象限。
3. 交点问题：
- 求与坐标轴的交点（如x轴交点 \( (-\frac{b}{k}, 0) \)）。
4. 实际应用题：
- 行程问题、费用问题等，需建立函数模型并求解。
5. 图像变换：
- 正比例函数平移得到一次函数。
五、难点分析
1. 参数 \( k \) 和 \( b \) 的综合影响：
- 需同时考虑两者对图像方向和位置的改变。
2. 应用题建模：
- 将实际问题转化为数学表达式时易混淆变量关系。
3. 斜率的计算：
- 两点 \( (x_1, y_1) \) 和 \( (x_2, y_2) \) 的斜率公式 \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)，易分子分母顺序错误。
六、易错点警示
1. 忽略 \( k \neq 0 \) 的条件：
- \( k=0 \) 时函数退化为常函数 \( y=b \)，非一次函数。
2. 符号错误：
- 求交点时漏负号（如x轴交点应为 \( -\frac{b}{k} \)）。
3. 象限判断混乱：
- 未系统分析 \( k \) 和 \( b \) 的符号组合。
4. 实际应用单位问题：
- 未统一单位（如公里与米混淆）导致解析式错误。
5. 图像绘制不准确：
- 仅取整数点或未延长直线。
七、典型例题
1. 求解析式：
已知直线过点 \( (2, 3) \) 和 \( (-1, -3) \)，求一次函数解析式。
解析
斜率 \( k = \frac{-3 - 3}{-1 - 2} = \frac{-6}{-3} = 2 \)，代入 \( y = 2x + b \)，解得 \( b = -1 \)，故 \( y = 2x - 1 \)。
2. 判断象限：
函数 \( y = -3x + 4 \) 的图像经过哪些象限？
答案
\( k = -3 < 0 \)，\( b = 4 > 0 \)，过一、二、四象限。
八、总结建议
- 强化斜率公式与象限分布的记忆，结合图像理解参数作用。
- 应用题需多练习，注意变量对应关系和单位转换。
- 绘制图像时至少取两点（如与坐标轴交点）确保准确性。