在高中数学当中,三角形的诱导公式可以实现正余弦之间的转化,很多高中学生不明白这里的原理, 本文就将这个推导过程,详细的解释如下.
问题:
sin(π/2+α)= cosα cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα
证明:
设P和P’是单位圆上的点,且 .若P点分别在第一、二、三、四象限,那么P’点就依次在第二、三、四、一象限,如上图所示.
从P点和P’点分别向Ox轴和Oy轴引垂线PM,P’M’.从直角三角形OMP和OM’P’全等得
|OM|=|OM’|,|MP|=|M’P’|
由上面等式和对任意角α的P,P’两点所在象限知道:P点的横坐标xp=OM
,恒与P’点的纵坐标相等,即它们的绝对值和符号都相同,也就是,因此 .
又P点的纵坐标,所以得到:
sin(α)= -cos(α+π/2)
所以得到:
接下来,我们来推演 π/2-α的情况: 根据以上结论:
sin(π/2-α)=sin(π/2+(-α))=cos(-α)=cosα
cos(π/2-α)=cos(π/2+(-α)=-sin(-α)= sinα
tan(π/2-α)=tan(π/2+(-α))=-cot(-α)=cotα
cot(π/2-α)=cot(π/2+(-α))=-tan(-α)=tanα
总结归纳: 以上公式揭秘了各自符号之间的转化过程和原理,可以用于cos到sin的转变,或cot 到tan的函数转化,希望对你学习有帮助